Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Geometri Suatu barisan

geometri jika perbandingan antara dua suku yang berurutan ( r ) selalu tetap.

Rasio yang baru setelah deret geometri disisipi k bilangan adalah :

Untuk n ganjil, suku tengah barisan geometri :

Contoh: 1. Diketahui barisan geometri 1, 2, 4, 8, ...... Bila jumlah n suku pertama, adalah 2047, berapakah U_t ?
Jawab :
1, 2, 4, 8, ...... a = 1, r = 2 , Sn = 2047
Karena r > 1, maka :


2. Suku kelima dan suku kedelapan suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan 384. Suku keempat barisan tersebut adalah ....
Jawab:


Maka:

 Deret Geometri Tak berhingga

Pada deret geometri, untuk maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga. Bentuk umum deret geometri tak berhingga adalah sebagai berikut :
Deret geometri tak berhingga dikatakan konvergen (mempunyai limit jumlah) jika -1 <>

Jika maka deret tersebut dikatakan divergen (tidak mempunyai limit jumlah,sehingga :
Contoh:
suku ke n deret geometri adalah 4^{-n maka jumlah tak berhingga deret tersebut adalah:}

Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan Deret Aritmatika
Suatu barisan disebut

barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut dinamakan beda yang dilambangkan dengan “b”.

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah :

Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyak suku dan b menyatakan beda, maka :
1. Suku ke – n barisan aritmatika (U_n) dirumuskan sebagai :


2. Jumlah n suku pertama deret aritmatika (S_n) dirumuskan sebagai:


3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan aritmatika (U_t) dirumuskan sebagai:

4. Sisipan dalam deret aritmatika

dimana : b = beda sebelum di sisipi, b'= beda yang baru setelah disisipi

5. Banyaknya suku baru setelah disisipi (n')

6. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan


Contoh:
1. Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, ...., 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah .....
Jawab:

Barisan aritmatika : 5, 8, 11, ……, 131 a = 1 , Un = 131

suku tengah :


2. Jumlah n buah suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Beda deret tersebut adalah:
Jawab:


3. Berapakah jumlah semua bilangan-bilangan bulat diantara 100 dan 300 yang habis dibagi oleh 5?
Jawab:
Barisan diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 ; 105, 110, 115, ....., 295 a = 105, b = 5 dan Un = 29

Un = a + (n – 1) . b

295 = 105 + (n – 1) . 5

190 = 5n – 5

5n = 195

n = 39

 

sumber :http://hernakuncoro.blogspot.com/2010/02/notasi-sigma-barisan-induksi-matematika.html

NOTASI SIGMA

Notasi Sigma

Notasi sigma adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat. Notasi sigma, ditulis dengan
Secara umum, notasi sigma didefinisikan sebagai berikut :

Dimana:

i adalah indeks penjumlahan

n adalah batas bawah penjumlahan

n adalah batas atas penjumlahan

Sifat-sifat notasi sigma:





Contoh :
Tentukan
Jawab:

 

 

Sumber :http://hernakuncoro.blogspot.com/2010/02/notasi-sigma-barisan-induksi-matematika.html 

Barisan dan Deret

POLA dan BARISAN BILANGAN
Suatu pola bilangan dapat mewakili bilangan-bilangan tertentu. Pola bilangan bermacam-macam, diantaranya pola garis lurus, pola persegi panjang, pola persegi, pola segitiga, pola bilangan ganjil dan genap serta pola segitiga pascal.
1. Pola Garis Lurus
Pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Pola noktahnya dibentuk seperti garis lurus. Contohnya sebagai berikut.

2. Pola Persegi Panjang
Pola bilangan persegi panjang noktahnya dapat dibentuk seperti persegi panjang. Contohnya sebagai berikut.

3. Pola Persegi
Pola bilangan persegi noktahnya dibentuk seperti persegi, setiap sisinya harus sama panjang. Contohnya sebagai berikut.

Bila pola persegi terus dilanjutkan akan membentuk barisan bilangan kuadrat berikut. 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

4. Pola Segitiga
Pola bilangan juga dapat digambarkan membentuk segitiga. Contohnya seperti berikut.

Bila pola segitiga terus dilanjutukan akan membentuk barisan bilangan berikut. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …

5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap
Bilangan dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu bilangan ganjil dan bilangan genap.
a. Bilangan ganjil
Bilangan ganjil dimulai dari angka 1. Bilangan selanjutnya adalah bilangan 1 ditambah 2, bilangan selanjutnya adalah bilangan hasil dari (1 + 2 yang ditambahkan 2, dan seterusnya). Dengan demikian, bilangan ganjil dapat dituliskan sebagai berikut. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …
b. Bilangan genap
Bilangan genap dimulai dari 2. Bilangan genap dituliskan seperti berikut. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …

6. Pola Segitiga Pascal
Pola bilangan Segitiga Pascal berbeda dengan pla bilangan sebelumnya. Pola bilangan pascal selalu dimulai dari angka 1 dan diakhiri dengan angka 1. Bentuknya seperti berikut.

B. Barisa Bilangan
Barisan bilangan dapat membentuk pola tertentu. Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu Barisan aritmetika(barisan hitung) dan Barisa geometri (barisan ukur).
1. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan yang mempunyai selisih sama antara bilangan yang saling berdekatan. Selisih tersebut disebut beda yang dilambangkan b. Beda barisan aritmetika dapat berupa bilangan positif maupun bilangan negatif. Barisan aritmetika dibedakan menjadi dua macam.
a. Barisan aritmetika naik
Bila bedanya positif maka disebut barisan aritmetika naik.
Contoh: barisan 3, 6, 9, 12, 15, … mempunyai beda (b) = 3
b. Barisan bilangan turun
Bila bedanya negatif maka disebut barisan aritmetika turun.
Contoh: barisan 36, 31, 26, 21, 16, 11, … mempunyai beda (b) = -5
Bila diketahui barisan aritmetika seperti berikut.

2. Barisan Geometri
Barisan geometri disebut juga barisan ukur. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Suku barisan diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama. Bilangan tetap tersebut disebut rasio. Rasio dilambangkan r. Barisan geometri dibedakan menjadi dua macam.
Barisan geometri naik
Barisan geometri naik mempunyai r > 1. Barisan geometri naik disebut juga barisan divergen.
Contoh: 2, 4, 8, 16, 32, 64, … mempunyai rasio (r) = 2.
Jadi, barisan 2, 4, 8, 16, 32, 64, … merupakan barisan geomtri naik atau barisan divergen
Barisan geometri turun
Barisan geometri turun mempunyai r < 1. Barisan goemetri turun disebut juga barisan konvergen. Contoh: 96, 48, 24, 12, 6, 3, 3/2, … mempunyai rasio (r) = 1/2. Jadi, barisan 96, 48, 24, 12, 6, 3, 3/2, … merupakan barisan geometri turun atau barisan konvergen. Misalkan, terdapat barisan geometri berikut.